Курс «Функціональний аналіз та теорія міри й інтеграла» є необхідною складовою частиною базової теоретичної підготовки студента-математика та основою для подальшого вивчення спеціальних дисциплін.

Суть функціонального аналізу полягає в узагальненні основних понять математичного аналізу на об’єкти більш загальної та більш  складної природи. Це дозволяє підходити з єдиної точки зору до питань, які раніше розглядалися ізольовано в різних математичних дисциплінах. Відповідні твердження не ускладнюються, а навпаки стають прозорішими. Саме в цій частині курсу можна показати, що абстрактність математики надає їй силу та універсальність. З іншої сторони вивчення теорії міри й інтеграла дає можливість засвоїти основні теоретичні відомості з абстрактної теорії міри та теорії інтегралу Лебега, а також практичні вміння та навички що до обчислення міри множин на прямій та інтегрування функцій однієї змінної.

Мета полягає у викладенні основних понять і фактів сучасної функціонального аналізу, теорії міри та інтегралу на базі теорії множин, вищої алгебри та математичного аналізу, оволо­діння теоретичними положеннями та деякими застосуваннями теорії міри та інтеграла Лебега, знайомство з просторами інтегрованих функцій, отримання теоретичної бази для використання інтеграла Лебега в інших математичних теоріях, оволодіння основними поняттями та фактами функціонального аналізу – теорією метричних та нормованих просторів, операторів тощо, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Завданням є розглянути основні поняття теорії міри, вимірних функцій та інтегралу, навчити типовим методам обчислення мір множин, інтегралів від вимірних функцій та застосуванню цих методів в різних розділах математики, сприяти засвоєнню знань, а також навчити студентів застосовувати властивості метричних, лінійних, нормованих та евклідових просторів, лінійних функціоналів та операторів до розв’язування конкретних задач як теоретичного, так практичного характеру.

Предмет навчальної дисципліни Функціональний аналіз  та теорія міри й інтеграла: міра Лебега, інтеграл Лебега, вимірні функції, простори інтегрованих функцій, метричні, лінійні, нормовані та евклідові простори, лінійні функціонали та оператори.

У результаті вивчення навчального курсу студент повинен

знати:

  • поняття міри та вимірних множин;
  • поняття півкільця, кільця, алгебри та сигма- кільця, алгебри;
  • борелівську класифікацію множин;
  • алгоритм побудови міри Лебега;
  • означення вимірної функції;
  • властивості вимірних функцій;
  • означення та способи обчислення інтегралу Лебега, невизначеного інтеграла Лебега, інтегралів Лебега-Стільтьєса;
  • основні твердження про збіжність інтегралів та вимірних функцій.
  • термінологію теорії метричних просторів;
  • основні факти про нормовані та банахові простори, класичні приклади банахових просторів;
  • теореми Гана-Банаха, Банаха-Штейнгауза та методи застосування;
  • принцип рівномірної неперервності, теорему про замкнений графік та та методи застосування цих теорем;
  • теореми про загальний вигляд лінійного функціоналу;
  • критерії компактності у нескінченновимірних просторах;
  • термінологію гільбертового простору, стандартні приклади, загальні теореми та теорію рядів Фур’є у гільбертовому просторі;
  • теореми про нерухомі точки та їх застосування;

вміти:

  • перевіряти замкненість, відкритість, вимірність множин, належність до відповідних борелівських класів;
  • перевіряти вимірність та інтегрованість за Лебегом функцій;
  • обчислювати міру Лебега, Лебега-Стільтьєса різних множин;
  • визначати значення інтеграла Лебега, Лебега-Стільтьєса в різних випадках;
  • знаходити зв'язок з інтегралом Рімана;
  • застосовувати теорему Фубіні;
  • знаходити границі послідовностей елементів різних просторів;
  • досліджувати множини замкненість, відкритість;
  • досліджувати оператори у нормованих просторах на лінійність, неперервність;
  • знаходити норму лінійного оператора.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Навчальна дисцип­ліна „ Функціональний аналіз  та теорія міри й інтеграла ” використовується при вивченні курсів теорії ймовірностей, рівнянь математичної фізики та інших.

Дисципліна спрямована на формування загальнонаукової та математичної компетентності.

Програма дисципліни містить такі розділи: Основні класи множин. Міра та її властивості.  Вимірні функції. Інтеграл Лебега. Метричні, нормовані та евклідові простори. Лінійні оператори та функціонали.